Børne- og Undervisningsudvalget 2023-24
BUU Alm.del Bilag 61
Offentligt
KOMMOD rapporten
[email protected], læseplansarkitekt, september 2002
KOMMOD-rapporten giver et alternativt svar til KOM-projektets kommissorium i forventning om at
dettes giver, Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd og Undervisningsministeriet, ønsker at respektere
almindelig demokratisk IDB-tradition med Information og Debat mellem alternativer inden en
Beslutning tages. Rapporten besvarer nedenstående spørgsmål om matematikundervisningen:
a) Hvad er samfundets krav til undervisningen?
b) I hvilken udstrækning er der behov for at forny den eksisterende undervisning?
c) Hvordan kan undervisningen tage hensyn til den nye elevtype?
d) Hvilket indhold kan der være i et tidssvarende matematikfag?
e) Hvordan kan fremtidens undervisning være organiseret?
f) Hvordan kan progression og sammenhæng i undervisningen sikres?
g) Hvilke konsekvenser vil en ændret undervisning få for læreruddannelsen?
h) Hvilke kompetencer og kvalifikationer kan erhverves på de forskellige stader af undervisningen?
i) Hvordan kan kompetencer og kvalifikationer måles?
j) Hvordan kan fremtidens undervisningsmaterialer se ud?
k) Hvordan kan en løbende udvikling af undervisningen sikres?
l) Hvordan kan Danmark udveksle erfaringer om undervisningen med udlandet?
Ad a. Vort demokratiske samfund har behov for, at borgere og specialister har et fælles talsprog,
som de kan kommunikere i om kvantitative forhold og beregninger. Samfundet har behov for, at
matematik bliver en menneskeret, både som diskursiv kvalifikation og som tavs kompetence.
Ad b. Der er behov for at forny den nuværende matematikundervisning for at løse dens tre
hovedproblemer: 1. Der findes en udbredt talsprogs-analfabetisme, hvor mange borgere vægrer sig
ved at benytte talsproget. 2. Der er store overgangsproblemer mellem primær, sekundær og tertiær
uddannelse. 3. Der er en vigende tilgang til matematikbaseret videreuddannelse inden for
naturvidenskab, teknologi og økonomi, samt en stor mangel på nye gymnasielærere i matematik.
Ad c. Fremtidens matematikundervisning bør respektere nutidens demokratiske, anti-autoritære
ungdom og dens krav om mening og autenticitet. Dette kan opnås hvis faget begynder at respektere
sine historiske rødder, og rehumaniserer sig ved at fremstille sine abstraktioner som abstraktioner
og ikke som eksempler, dvs. som abstraktioner fra eksempler (en funktion er et navn for et
regnestykke med variable tal), og ikke som eksempler på endnu mere abstrakte abstraktioner (en
funktion er et eksempel på en mængderelation). Kort sagt, faget bør fremstille sig som
mate-matik,
der erkender at det har fysiske rødder og er vokset op nedefra gennem abstraktioner. Og faget må
sige farvel til den nuværende
meta-matik
og dens tro på at faget har meta-fysiske rødder og er
vokset ned oppefra gennem eksempler. Endelig må faget respektere, at mennesker lærer forskelligt.
Børn lærer ved at mærke verden, dvs. gennem kompetenceopbygning. Unge lærer ved at lytte til
verden, dvs. gennem fortællings- og kvalifikationsopbygning ud fra læringsspørgsmålet “fortæl mig
noget jeg ikke ved, om noget jeg ved” (sladder-læring).
Ad d. Matematikken må respektere sin historie som fremvokset gennem abstraktioner, og dermed
også sin konstruktion som talsprogets grammatik, der først kan introduceres efter at talsproget er
udviklet. Talsproget er vokset ud af mødet med kvantitet i tid (gentagelse) og i rum (mange). Dette
møde har affødt konstruktion af tal til at beskrive totalen, enten gennem optælling i styk, bundter,
bundter af bundter, bundter af bundter af bundter osv. Eller hurtigere ved gennem beregning at
opsamle og opdele styk-tal (3 kr.) og per-tal (3 kr./dag, 3%): Plus og minus opsamler og opdeler
variable styk-tal (3+5 = ?, 3+? = 8). Gange og division opsamler og opdeler konstante styk-tal (3·5
= ?, 3·? = 15). Potens og rod&logaritme opsamler og opdeler konstante per-tal (3 gange 5% = ?%, 3
gange ?% = 20%, ? gange 5% = 20%). Integration og differentiation opsamler og opdeler variable
per-tal (5 sekunder á 2m/s voksende jævnt til 4m/s = ?m, 5 sekunder á 2m/s voksende ? til 4m/s =
18m). Kort sagt, faget må respektere, at geometri er vokset ud af det, ordet betyder på græsk, jord-
1
 BUU, Alm.del - 2023-24 - Bilag 61: Henvendelse af 14/12-23 fra Allan Tarp om Høring om matematik, teori-rettet med 8 kompetencer eller praksis-rettet med 2 kompetencer.
måling. Samt at algebra er vokset ud af det, ordet betyder på arabisk, genforening, dvs. opsamling
og opdeling af konstante og variable styk-tal og per-tal. Geometri og algebra må altså respektere
deres historiske rødder som fremvokset af landbrugskulturens to hovedspørgsmål: “Hvordan deler
vi jorden, og det den producerer?” Talsproget har en række typiske anvendelsesområder: Geometri
regner på former og figurer. Handelsregning regner på niveautal. Vækstregning regner på forud-
sigelig variation. Statistik/sandsynlighedsregning regner på uforud-sigelig (men “bagud-sigelig”)
variation. Det er vigtigt at sikre, at undervisningen renses for “dræber-matematik” (dvs. matematik,
der ikke forekommer uden for klasseværelset, og som kun kan anvendes til én ting, at dræbe elevers
interesse). Plus bør kun forekomme inden for den parentes, der sikrer at enhederne er ens (T = 2·3 +
5·3 = (2+5)·3 = 7·3 = 21). Brøker bør kun optræde sammen med deres totaler (1/2 af 2 + 2/3 af 3 =
3/5 af 5). Ligninger bør løses ved tilbageregning. Da jagten på et veldefineret mængdebegreb er
opgivet bør dette fjernes, og funktion udskydes til det dukker op historisk efter differentialregning.
Ad e. Fremtidens matematikundervisning kan organiseres i to hovedområder: Barnets matematik og
ungdommens matematik, svarende til hhv. 1-7 skoleår og 8-12 skoleår. Gennem mødet med mate-
matikkens rødder, gentagelse og mange, udvikles fagets to kernekompetencer: tælle og regne.
Ad f. Progression og sammenhæng i undervisningen kan sikres ved at barnets matematik vokser ud
af den lokale mangfoldighed, agerbrugskultur med land og by, og ved at ungdommens matematik
vokser ud af industrikulturens globale mangfoldighed. Samt ved at barnet primært arbejder med
styk-tal, og ungdommen primært med per-tal.
Ad g. Med en opdeling af matematikundervisningen i barnets matematik og ungdommens
matematik vil det også være naturligt at opdele læreruddannelsen i barneskolelærer og
ungdomsskolelærer, på samme måde som det sker næsten overalt i udlandet. Det betyder at al
fremtidige læreruddannelse samles på college-niveauet, enten på et universitet eller på et CVU. På
sigt vil det falde sammen med den opdeling af skolen i en barneskole og en ungdomsskole, der vil
finde sted inden for det næste tiår i forbindelse med gymnasiets sammenbrud på grund af øget
lærerpensionering og mangelfuld tilgang af nye lærere inden for matematik og naturvidenskab.
Ad h. Gennem mødet med gentagelse og mange udvikler barnet kompetencer i at opsamle og
opdele konstante og variable styk-tal. På marken fører bundtning og ombundtning til gangning og
division. I byen fører stakning og omstakning til plus og minus. Gennem fortællinger om beregning
af gentagelse og mange udvikler den unge kvalifikationer i at opsamle og opdele konstante og
variable per-tal. Den totale rente fører til potens, rod og logaritme. Den totale vejstrækning fører til
integral- og differentialregning.
Ad i. Kompetencer er tavs viden og kan derfor hverken beskrives eller måles, men vil udvikle sig
automatisk gennem mødet med meningsfulde og autentiske situationer, og vokse ud fra mange
konkrete oplevelser med gentagelse og mange, bundtning og stakning, opsamling og opdeling, styk-
tal og per-tal. Kvalifikationer kan som nu måles gennem løsning af tre typer opgaver:
Rutineopgaver, tekstopgaver og projekter.
Ad j. Fremtidens undervisningsmaterialer bør være kortfattede for at der kan afsættes tid til
elevernes læring gennem selvaktivitet. Materialet bør respektere, at eleverne har to hjerner, en
krybdyrhjerne til rutiner og en menneskehjerne til begribelse. Der bør derfor være dels
træningsopgaver med elevsvar, så den enkelte elev kan gå frem i sit eget tempo og træne efter eget
behov. Dels kortfattede lærebøger der fortæller hvordan faget er vokset op fra praksis gennem lag af
abstraktioner, og som accepterer forskellige betegnelser for fagets begreber, så disse navngives
både nedefra og oppefra (plusvækst og lineær vækst/funktion mm.).
Ad k. En løbende udvikling af undervisningen kan sikres ved til stadighed at validere
undervisningen i forhold til sine rødder og ikke i forhold til den aktuelle politiske korrekthed.
Ad l. Udveksling af erfaring med udlandet kan ske gennem at etablere en dansk uviklingsforskning,
hvor praktikere får mulighed for at bestride kombinationsstillinger som forsker på et
universitet/CVU og samtidig forbliver tilknyttet et lærerteam på en skole. Herved undgås den
2
 BUU, Alm.del - 2023-24 - Bilag 61: Henvendelse af 14/12-23 fra Allan Tarp om Høring om matematik, teori-rettet med 8 kompetencer eller praksis-rettet med 2 kompetencer.
nuværende golde “spøgelsesforskning” udført af forskere uden erfaringsbaggrund i undervisningens
praksis. Udviklingsforskningen bør være opdagelsesforskning (Askepot-forskning), der bruger
praksisbaseret fantasi til at opdage og afprøve skjulte alternativer.
Forskelle på KOM- og KOMMOD rapporterne.
Matematikundervisningens to hovedspørgsmål lyder: “Hvordan kommer begreber ind i verden, og
ind i elevens hoved - udefra eller indefra”? Disse spørgsmål afføder forskellige svar. Gymnasiets
strukturalister
siger udefra-udefra: Begreber findes i det meta-fysiske, opdages af forskere og
formidles af lærere. Folkeskolens
konstruktivister
siger udefra-indefra: Begreberne findes i det
meta-fysiske, men opdages gennem eksperimenter, hvor den enkelte elev selv konstruerer sin egen
viden og kunnen (skemaer og kompetencer), der begge er “tavse” og kun kan iagttages gennem
brug.
Post-strukturalister
siger indefra-udefra: Begreber opstår af det fysiske gennem opfindelse og
social konstruktion, og bør fortælles sådan.
Mesterlæren
siger indefra-indefra: Begreber konstrueres
af lærlingen under deltagelse i mesterens praksis.
Over det meste af verden raser to videns-krige, en matematik-krig mellem strukturalister og
konstruktivister, og en videnskabs-krig mellem strukturalister og post-strukturalister. I stedet for at
vedkende sig forskelligheden forsøger KOM-rapporten at tilsløre denne ved at overtage
konstruktivisternes centrale talemåde, kompetence, men give den et strukturalistisk indhold
(indsigtsbaseret handleparathed). Den franske filosof Foucault har påvist, hvordan nye talemåder
skaber nye klienter: “Kvalifikation” skaber den ukvalificerede, og “kompetent” skaber den
inkompetente. Men hvor den ukvalificerede kan kurere sig selv ved at kvalificere sig, så kan den
inkompetente ikke kurere sig selv ved at “kompetencere” sig, og er dermed overladt til at blive
kureret af andre, de kompetence-kompetente. Overtagelse og ændring af talemåden kompetence kan
derfor tolkes som strukturalisternes forsøg på at kuppe sig til en sejr i matematik-krigen, i stedet for
at benytte denne til en frugtbar dialog med ligeværdige parter.
Først forsøgte strukturalisterne at løse matematik-krisen gennem talemåden “ansvar for egen
læring”. Eleverne tog denne talemåde alvorligt og vendte ryggen til ”meta-matik”-undervisningens
meningstomme selvreference (en funktion er et eksempel på en mængderelation: bublibub er et
eksempel på bablibab). Nu søges lærerne disciplineret og umyndiggjort ved at konstruere dem som
inkompetente med deraf følgende behov for kompetenceudvikling gennem massiv efteruddannelse.
Ved at udelade kompetencen ”at eksperimentere” viser KOM-rapporten, at den kun respekterer
videnskaben, og hverken videnskabelsen eller det videnskabende. Samt at den ikke respekterer den
måde hvorpå unge og især børn tilegner sig viden gennem selvaktivitet og læring. Ved at definere
kompetence som indsigtsbaseret forudsætter KOM-rapporten, at matematikken allerede er lært,
hvorefter resten af tiden så kan bruges på at anvende matematikken, ikke på omverdenen, men på
sig selv gennem otte interne kompetencer til udøvelse af matematikfaglighed. Herved bliver KOM-
matematikken en “katolsk” matematik med otte sakramenter, gennem hvilken mødet med viden-
skaben kan finde sted. Heroverfor står så KOMMOD-rapportens “protestantiske” matematik, der
betoner vigtigheden af det direkte møde mellem individet og det videnskabende (mange) og dennes
to sakramenter, tælle og regne. Og vigtigheden af, at sproglig kompetence går forud for grammatisk
kompetence. Også ved kvantitativ kompetence kommer talsprog før talsprogets grammatik,
matematik. Og som ved talesproget forbliver grammatik en tavs kompetence for de fleste.
Skal matematik-krigen afsluttes med et KOM-kup, eller skal den bilægges gennem demokratisk
forhandling med MOD-opfattelser? Valget er dit, og med KOMMOD-rapporten får du mulighed for
at validere argumenterne, ikke oppe fra den politiske korrekthed, men nede fra matematikkens
historiske rødder. Held og lykke.
3
 BUU, Alm.del - 2023-24 - Bilag 61: Henvendelse af 14/12-23 fra Allan Tarp om Høring om matematik, teori-rettet med 8 kompetencer eller praksis-rettet med 2 kompetencer.
2799172_0004.png
Mængde-baseret matema-tisme - eller Mange-baseret matema-tik:
1-2
MÆNGDER forenes:
addition
2+3=5
47 + 85 = 135
82 - 65 = 17
PROBLEM:
PLUS er falsk abstraktion:
2 m + 3 cm = 203 cm
2 uger + 3 dage = 17 dage
2 C + 3 D = 23 D
3 sten = sten + sten + sten
Landet:
Bundte&ombundte
GANGE er sand abstraktion:
3 sten = 3 gange sten =3·sten
2·3·dage = 6·dage
2·m·3·cm=6·mcm = 600·cm^2
Bundtning og ombundtning:
Total = 6 1’ere = ? 2’ere
Svar: 6·1 = 6 = 6/2·2 = 3·2
Ombundtnings-regel: T = T/b·b
6/2: Optælling i 2’ere
6·2: Fjernelse af 2
Totalen findes ved tælling eller
regning: Ombundtning (division)
Gangning ombundter i tiere:
T = 8·3 = 24 = 2·D & 4·1
Gangning er division!
Max-højde 3:
T = 8 3’ere = overlæs!
T = 8·3 = 2·3^2 & 2·3
Ubundtede kan også bundtes i del-
bundter, f.eks. til 5’ere:
T = 8·3 = 24/5·5 = 4·5&4·1 = 4·5
& 4/5·5= (4 4/5)·5
Dannelsesmødet med viden-skaben – eller med det viden-skabende
6-7
Løsnings-MÆNGDER:
åbne udsagn (ligninger)
2 + 3·x = 8
3·x = 6
(2+3·x)-2=8-2
(3·x)/3=6/3
(3·x+2)-2 = 6
(x·3)/3 = 2
3·x+(2-2) = 6
x·(3/3) = 2
3·x + 0 = 6
x·1 =2
L = {x R | 2+3·x=8} = {2}
PROBLEM:
Vægtskåls-metaforen skjuler
regneprocessen, og skaber
mange fejlmuligheder:
2 + 3·x = 8, dvs. 5·x = 8
Slot & Kloster:
Ind- & afkodning
Kodning: 2+(3·5)=17->2+(3·x)=T
Afkodning (ligningsløsning):
Omstakning fra 8-stak til 2-stak:
2 + (3·x)
=
8 = 8–2+2
3·x
=
8-2 = 6
Ombundtning fra 1’er til 3’er:
3·x
=
6 = 6/3·3
x
=
6/3 = 2
Frem- og tilbageregning:
Overflyt med modsat regnetegn
frem
tilbage
2 + 3·x
+2
3·x
·3
x
=
8

-2
=
8-2=6

/3
=
6/3 = 2
3-4
MÆNGDER gentages:
multiplikation
2·3=6
7 · 85 = 595
372/7 = 53 1/7
Byen:
Stakke & omstakke
T = 653 + 289 = ?
653 = 6·C & 5·D & 3·1
279 = 2·C & 8·D & 9·1
T = 8·C & 13·D & 12·1
T = 8·C & (13+1)·D & (12-10)·1
T = (8+1)·C & (14-10)·D & 2·1
T = 9·C & 4·D & 2·1 =
942
Omstaknings-regel: T = T–b+b
T = 654 - 278 = ?
653 = 6·C & 5·D & 4·1
278 = 2·C & 7·D & 8·1
T = 4·C & -2·D & -4·1
= (4-1)·C & (-2+10)·D & -4·1
= 3·C & (8-1)·D & (-4+10)·1
= 3·C & 7·D & 6·1 =
376
T = 7·653 = ?
T = 7·(6·C & 5·D & 3·1)
= 42·C & 35·D & 21·1
= 42·C & (35+2)·D & (21-20)·1
= (42+3)·C & (37-30)·D & 1·1
= 45·C & 7·D & 1·1 =
4571
T = 653/7 = ?
T = 6/7·C & 5/5·D & 3/7
= 65/7·D & 3/7
= (65-2)/7·D & (20+3)/7
= 9·D & 23/7
= 9·D & 3 2/7 =
93 2/7
(dobbelt bogholderi)
5-6
MÆNGDER opdeles:
brøker
1 2
+ =?
2 3
1 2 3 4 7
+ = + =
2 3 6 6 6
PROBLEM:
1 2 (1+2) 3
+ =
=
hvis
2 3 (2+3) 5
1 cola blandt to flasker plus
2 cola blandt tre flasker er
(1+2) cola blandt (2+3) fl.
8-9
MÆNGDER forbindes:
funktioner
Funktion: et eksempel på en
relation mellem to mængder,
hvorom der gælder at ...
eks. f(x) = 2 + 3x
funktionens værdi og graf
PROBLEM:
Funktionsbegrebet opstod efter
differentialregning! Syntaksfejl
ved at sammenblande sprog og
metasprog: Funktionens værdi
svarer til udsagnsordets slips.
Byen:
Handel og skat
Per-tal: Skat, told, kurser, renter,
fortjeneste, tab, værdipapirer.
Forening af per-tal: 3 kg á 4 $/kg
+ 5 kg á 6 $/kg giver 8 kg á ? $/kg
Geometri: Areal og rumfang af
flade og rumlige former.
Retvinklede trekanter: Pytagoras,
sinus, cosinus og tangens.
Lineær funktion, lineær vækst
eller PLUS-vækst:
T = b +a+a+a+... = b + a·n
En funktion er et navn for et
regnestykke med et variabelt tal,
f.eks. T = 2 + 3x. (Euler 1748)
Regnestykker giver faste tal, og
funktioner giver variable tal.
Funktionens variation kan vises i
tabeller og på kurver.
Kroen:
Omfordeling gennem spil
Gevinst på tips, lotto, roulette mm
Statistik over gevinstgange
Risiko = Konsekvens·sandsynligh.
Byen:
Vægtet gennemsnit
1
2
3
T = ·2 + ·3 = 3 = ·5
2
3
5
eller
1
2
4
T = ·4 + ·3 = 4 = ·7
2
3
7
dvs. mange forskellige svar til
1 2
spørgsmålet
+ =?
2 3
men ALDRIG større end 1!
Handelsregning
5 kg koster 60 kr, 3 kg koster ? kr
ombundt kr
ombundt kg
kr = kr/kg·kg
3kg = 3/5·5kg
= 60/5·3
= 3/5·60kr
= 36
= 36 kr
Procentregning 1
• 8 har 2, 100 har ?
100 = 100/8·8 har 100/8·2 = 25
• 100 har 25, 8 har ?
8 = 8/100·100 har 8/100·25 = 2
• 100 har 25, ? har 2
2 = 2/25·25 haves af 2/25·100 = 8
Procentregning 2
• 25% af 8 er ?
0.25 · 8 = x
• 25% af ? er 2
0.25 · x = 2, så x = 2/0.25 = 8
• ?% af 8 er 2
x · 8 = 2, så x = 2/8 = 0.25 = 25%
4
 BUU, Alm.del - 2023-24 - Bilag 61: Henvendelse af 14/12-23 fra Allan Tarp om Høring om matematik, teori-rettet med 8 kompetencer eller praksis-rettet med 2 kompetencer.
2799172_0005.png
10
Mængdelære
Funktionsteori: Definitions- og værdimængde.
Algebraiske funktioner:
Polynomier og polynombrøker.
Første- og andengradspolynomier.
Polynomiers division.
Trigonometri, og analytisk geometri.
Renæssancen: Konstante per-tal
Tal som mange-bundter (polynomier):
T = 2345 = 2·B^3 + 3·B^2 + 4·B + 5·1
Tilbage-regning ved potenser:
B^4
= 81
4^n = 1024
B
= 4√81
n = log1024/log4
Enkeltrente r, samlet rente R, rentes-rente RR
(1+r)^n – 1= R = n·r + RR
100% tilskr. kontinuert: 1+r = e = (1 + 1/n)^n = 2.718.. for n stor
11
Funktionsteori: Omvendt og sammensat funktion.
Ikke-algebraiske funktioner:
Trigonometriske funktioner.
Logaritme- & eksponentialfunktioner
som homomorfier: f(x * y) = f(x) # f(y)
Stokastiske funktioner.
Differentialregning.
Industrien: Variable per-tal
Koordinatgeometri: Regning på tegning.
Kurvetilpasning med polynomier:
T = A + B·x + C·x^2 + D·x^3
A: niveau, B: stigning, C: krumning,
D: modkrumning
Vækst med variabel, forudsigelig tilvækst:
Differentialregning: dT = dT/dx · dx = T’ · dx
Det ikke-lineære er lokalt lineær: (1+r)^n ≈ 1+ n·r
(=1+n·r+RR: ved små renter kan rentes-renten negligeres)
12
Vektorrum.
Integralregning.
Enkle differentialligninger.
Hovedværker i den kvantitative litteratur:
Geometri, Handel, Økonomi, Fysik, Biologi.
De tre genrer for kvantitativ litteratur:
- Fakta eller da-så beregninger kvantificerer det
kvantificerbare, og beregner det beregnelige:
Da prisen er 4 kr/kg, så koster 6 kg 6·4 = 24 kr.
- Fiktion eller hvis-så beregninger kvantificerer det
kvantificerbare, og beregner det uberegnelige:
Hvis indkomsten er 4 mio$/år, så vil 6 års indkomst
være 6·4 = 24 mio$.
- Fidus eller hvad-så beregninger kvantificerer det
ikke kvantificerbare:
Hvis konsekvensen “brækket ben” K sættes til 2
mio$, og hvis sandsynligheden S sættes til 30%, så
vil risikoen R være R = K·S = 2·0.3 = 0.6 mio$.
Vækst med konstant per-tal og procent-tal:
x:+1 -> T:+a lineær vækst
T = b + a·x
x:+1 -> T:+r% eksponentiel vækst T = b·(1+r)^x
x:+1% -> T:+r% potens vækst
T = b · x^r
x:+1 -> T:+r%+a opsparing
T = a·R/r
Vækst med uforudsigelig (stokastisk) variation
∆T = ?
T = MID ± 2·SPR
Forening af procent-tal:
300 á 4% og 500 á 6% er 800 á ?%.
Vækstprocentregning:
T = a·b: ∆T/T ≈ ∆a/a + ∆b/b
T = a/b: ∆T/T ≈ ∆a/a – ∆b/b
Trigonometri:
SIN & COS: de korte sider i procent af den lange.
TAN: den ene korte side i procent af den anden
.
= tan(180/n)
· n = 3.1416.. for n stor
T = x^n = x·x·x… n gange, så dT/T = n · dx/x, og
dT/dx = n · T/x = n · x^(n–1)
y = e^x vokser til e^(x+t) = y
·
e^t = y
·
(1+t) = y + t
·
y
så dy = t
·
y, så dy/t = y, så (e^x)‘ = e^x.
Optimeringsopgaver fra teknik og økonomi.
De tre handlemuligheder: Fakta kontrolberegnes,
Integralregning: ∆T = T2–T1 = ∫dT = ∫f·dx,
fiktion scenarieberegnes, fidus henvises til kvalitativ
Samlet tilvækst = sluttal–starttal = summen af enkelt- behandling.
tilvæksterne,
uanset antal enkelt-tilvækster!
Vækstligninger løst ved numerisk integration.
Integration sker ved omskrivning til tilvækstform:
Da 6x^2 + 8x = d/dx (2x^3 + 4x^2) = d/dx (T)
så er ∫ (6x^2 + 8x) dx
= ∫ d(2x^3 + 4x^2)
= ∫ dT
= ∆T = T2–T1
Funktioner af to variable. Differentiation og
integration. Optimering og kumulering.
Vektorregning inden for handel og inden for
bevægelse på flade og i rum.
5
Kumuleringsopgaver fra teknik og økonomi.