Børne- og Undervisningsudvalget 2022-23 (2. samling)
BUU Alm.del Bilag 184
Offentligt
2755894_0001.png
Hvad skal mestres først
Mange eller Matematik?
Mange, for så bliver matematik bare let
Woke matematik 2030
[email protected], marts 2023
Woke-matematik
respekterer, at MANGE beskrives med barnets egne
bundttal med
enheder
- i stedet for at få påtvunget en falsk identitet med
linjetal uden enheder,
der bliver
matematisme
ved at påstå at 2 + 1 = 3 altid, til trods for at 2uger + 1dag = 15dage.
Woke-math
ses ved at spørge en 3-årig "Hvor gammel næste gang?" Svaret er typisk 4, med
4 fingre vist. Men holdt sammen 2 og 2, indvender barnet "Det er ikke 4, det er 2 2ere." Barnet
ser således, hvad der findes i rum og tid, bundter af 2ere i rummet, og 2 af dem i tid, når de
tælles. Så det der eksisterer, er totaler, der kan tælles og samles i tid og rum, som T = 2 2ere.
Woke-math
bygger på den filosofi, som kaldes eksistentialisme, der mener, at eksistens går
forud for essens. Dvs. at det, der eksisterer eksternt, går forud for det, vi siger om det internt.
01. MANGE-MATIK BRUGER BUNDT-TAL MED ENHEDER
Der findes to slags tal i verden, styk-tal og per-tal, som kan være uens eller ens, og som skal
opsamles eller opdeles.
3 kroner og 2 kroner er uens styktal, og her forudsiger regnestykket 3+2 = 5 resultatet af at samle
dem.
3 gange 2 kroner er ens styktal, og her forudsiger regnestykket 3*2 = 6 resultatet af at samle dem.
3 gange 2% er ens per-tal, og her forudsiger regnestykket 102%^3 = 106,12% resultatet af at samle
dem til 6% samt
0,12% ekstra i ’rentes-rente’.
Uens per-tal findes fx i blandinger som 2kg a 3kr/kg og 4 kg a 5kr/kg. Her kan styktallene 2 og 4
samles direkte, medens per-tallene 3 og 5 først skal opganges til styktal, før de kan samles som
arealer, også kaldet at integrere, hvor gange kommer før plus:
2 kg til 2*3 kr + 4 kg til 4*5 kr = 6 kg til (2*3+4*5) kr, altså 6 kg a 26/6 kr/kg.
Opsamle
opdele i
Styk-tal
(meter, sekund)
Per-tal
(m/sek, m/100m = %)
Uens
T=a+b
T
–
b=a
T =
f dx
dT/dx = f
Ens
T = a*b
T/b = a
T = a^b
b√T = a loga(T) = b
1
 BUU, Alm.del - 2022-23 (2. samling) - Bilag 184: Høring om matematik, teori-rettet med 8 kompetencer eller praksis-rettet med 2 kompetencer.
2755894_0002.png
CIFRE ER IKONER
Et ciffer er en ikon med det antal streger, det repræsenterer, hvis det skrives mindre sjusket:
fire streger i fire-tallet, osv.
I
1
II
2
III
3
IIII
4
IIIII
5
IIIIII
6
IIIIIII
7
IIIIIIII
8
IIIIIIIII
9
BUNDT-TÆLLING
Totaler optælles i bundter. 5 fingre optælles som ’1 Bundt 2’ 3ere, kort som ’1B2’ 3ere, eller
blot
’12’ 3ere. Og ti fingre optælles som ’3B1’ 3ere, eller ’1BundtBundt 0Bundt 1’ 3ere, eller ’1BB 0B 1
3ere, eller blot ’101’ 3ere.
En total T optælles i en enhed, fx T = 3 4ere, eller T = 3x4. Dette kaldes en tal-fortælling med et
grundled T, et udsagnsled, =, og et prædikat, 3x4. I
’T
= 345’ har vi udeladt enhederne, T = 3BB4B5,
hvor bundtet B = ti.
Optælling af 5 i 2ere kan ske på tre måder: normalt, eller med
’overlæs’
eller
med ’under-læs’:
5 =
2B1 = 1B3 = 3B-1 2ere. Det letter beregning: 45+27 = 4B5+2B7 = 6B12 = 7B2 = 72, og 7*56 = 7*5B6
= 35B42 = 39B2 = 392.
REGNEARTER ER IKONER FOR OPSAMLING
Bort-skubning af 2ere ved omtælling af 8 kan ikoniseres af en kost kaldet division, 8/2. Op-stakning
af 2ere 4 gange kan ikoniseres af en lift kaldet gange, 4 x 2. Omtælling kan forudsiges af en
omtællings-formel, der bruges til at skifte enheder: 8 = 4x2 = (8/2)x2, eller
T
= (T/B)xB, med
bogstaver for ubestemte tal. Formlen siger at
T
kan omtælles i
T/B B’ere
Bort-trækning af en stak for at finde ubundtede kan ikoniseres af et reb kaldet minus, 9
–
4x2 = 1.
Placeret oven på stakken bliver ubundtede til en decimal, et negativt tal eller en brøk: 9 = 4B1 =
5B-1 = 4 1/2 2ere.
Op-samling af stakke kan ikoniseres af et kryds kaldet plus, +, der viser, at de kan samles både
vandret og lodret.
OPDELING
Det modsatte af opsamling er opdeling, der forudsiges af tilbageregning eller ligningsregning, hvor
vi bruger bogstavet
u
for det ukendte tal.
I tilbageregningen (ligningen) ’u + 2 = 5’ spørger vi ”Hvad er det, der samlet med 2 giver 5?”. Svaret
fås naturligvis ved den modsatte proces, ved nu at trække de 2 væk fra 5 med minus,
u
= 5
–
2. Det
ukendte tal findes altså ved at flytte det kendte tal
til modsat side med modsat regnetegn.
I ligningen
u*2
= 6 spørger vi ”Hvor mange 2ere er der i 6?”. Svaret fås naturligvis
ved at optælle 6
i 2ere, 6 = (6/2)*2, så
u
= 6/2. Altså igen ved den modsatte proces, ved at skubbe 2ere væk. Så igen
ved at flytte
til modsat side med modsat regnetegn.
I ligningen 2^u
= 8 spørger vi ”Hvor mange gangetal 2 er der i 8?”. Svaret fås
naturligvis af
gangetals-tælleren logaritme,
u
= log2(8). Altså igen ved at flytte
til modsat side med modsat
regnetegn.
I ligningen
u^3
= 8 spørger vi ”Hvilket gangetal er der 3 af i 8?”. Svaret fås naturligvis af gangetals-
finderen rod,
u
= 3√8. Altså igen ved at flytte
til modsat side med modsat regnetegn.
2
 BUU, Alm.del - 2022-23 (2. samling) - Bilag 184: Høring om matematik, teori-rettet med 8 kompetencer eller praksis-rettet med 2 kompetencer.
I ligningen 2*3 +
u*5
= 4*8 spørger vi ”2 3ere plus hvor mange 5ere giver 4 8ere?” Svaret fås igen
ved den modsatte proces, dvs. ved at fjerne de 2 3ere og så optælle resten i 5ere, også kaldet at
differentiere, hvor minus kommer før division, altså det modsatte af at integrere.
OMTÆLLE MELLEM IKONER OG 10ERE
Spørgsmålet ’Hvor mange 8ere i 32’ forudsiges af ligningen
u*8
= 32, med løsningen
u
= 32/8, da
32 omtalt i 8ere er 32 = (32/8)*8.
Spørgsmålet ’Hvor mange 10ere i 6 7ere’ forudsiges
ved at anbringe dem begge som stakke med
underlæs på et BxB bræt for at lære tidlig algebra:
6*7 = (B-4) * (B-3) = 10B -4B -3B + 4*3, da de 4 3ere trækkes væk to gange.
OMTÆLLING GIVER PER-TAL
En varemængde kan optælles i både kg og kroner forbundet af et per-tal, prisen, fx 4kr per 5 kg,
eller 4kr/5kg. Vi skifter da enhed ved at omtælle i per-tallet. Det kaldes også proportionalitet.
Spørgsmål: 20kg = ? kr.
Svar: 20kg = (20/5) x 5kg = (20/5) x 4kr = 16kr.
Tilsvarende med 20kr = ? kg.
Naturen og STEM er fyldt med per-tal. En bevægelse kan optælles i både meter og sekunder, hvor
per-tallet meter/sekund kaldes fart eller hastighed. Vand kan optælles både i gram og liter med
per-tallet gram/liter.
På en flise med en bund, en højde og en diagonal, kan højden omtælles i bunden som Højde =
(højde/bund) x bund = tangens-vinkel x bund
Med højden 3 og bunden 2 fås 3 = (3/2) x 2, eller tangens-vinkel = 3/2 = 1.5. Måles vinklen, fås 56
grader. Så ved 56 grader er højden 1.5 bunde. Tilsvarende med de andre vinkler op til 90. Vi kan
således bruge en lineal som vinkelmåler. Da en cirkel kan opdeles i mange små højder, kan vi
beregne tallet pi som
’pi =
n*tan(180/n)’
for
n
stor = 3.14...
På flisen plusses siderne som kvadrater: bund^2 + højde^2 = diagonal^2.
PLUSNING, MEN VANDRET ELLER LODRET?
Når totaler er optalt og omtalt, kan de plusses, men vandret eller lodret?
Ved vandret plusning spørges fx
’T = 2 3ere + 4 5ere = ? 8ere’.
Omtællings-formlen
forudsiger, at ’T/8 = 3.noget’, og ’noget = T – 3x8 = 2’, så ’T = 3B2’ 8ere.
Det
kaldes også integration, da vi plusser arealer.
Ved lodret plusning skal omtælling først gøre enhederne ens, fx 3ere, 5ere eller tiere. Herefter vil
omtællings-formlen
forudsige, fx at ’T/3 = 8.noget’, og ’noget = T – 3x8 = 2’, så ’T = 8B2’ 3ere.
Det
kaldes proportionalitet.
Ved plusning af per-tal bliver de til arealer, når de opganges til styktal, og plusses derfor som
arealet under deres kurve, altså som integration.
TOTALER I TID OG RUM, VÆKST OG STATISTIK
I tid
vokser en total ved at plusses eller ganges med et tal, kaldes plus-vækst og gange-vækst, eller
lineær og eksponentiel vækst.
Plusvækst: Sluttal = Begyndelsestal + enkeltvækst-tal * vækstgange, eller kort,
T
=
B
+
a*n. a
kaldes
også stigningstallet eller hældningstallet.
3
 BUU, Alm.del - 2022-23 (2. samling) - Bilag 184: Høring om matematik, teori-rettet med 8 kompetencer eller praksis-rettet med 2 kompetencer.
Gangevækst: Sluttal = Begyndelsestal * enkeltvækst-faktor ^ vækstgange, eller kort,
T
=
B
*
a^n,
da
200kr + 5% = 200*105% kr, så
a
= 1 + rente
Plus&gange-vækst (opsparing i en bank):
A/a
=
R/r,
hvor
A
er slut-kroner,
a
= periode-kroner,
R
=
slut-rente,
r
= periode-rente, og 1+R = (1+r)^n, hvor
n
er antal perioder. Tilskrives 100% mange
gange
n
fås Euler-tallet
e
= (1+1/n)^n.
Hvis vækst-tallet ændrer sig konstant, fås kvadratisk vækst med en parabel-kurve med krumning
opad eller nedad ved voksende el. aftagende ændring.
Hvis krumningen ændrer sig konstant, fås kubisk vækst med en dobbelt-parabel med krumning og
mod-krumning. Hvis vækst-faktoren ændrer sig konstant, fås logistisk mætnings-vækst med en
bakke-kurve ved infektioner. Forveksling af eksponentiel og mætningsvækst kan medføre unødig
skade.
I rum
kan en total opdeles i flere deltotaler, der kan, eller kunne være lige så store som deres
gennemsnit, hvor spredningen så fortæller, hvor langt væk fra gennemsnittet de i gennemsnit
ligger. Men gennemsnit har kun mening, hvis de kunne være lige store. Elever i 1. og 9. går i 5.
klasse i gennemsnit??
02. MATE-MATISME BRUGER LINIETAL UDEN ENHEDER
Mange-matik med enheder bygger på
den konkrete eksistens ’Mange’, og
bruger bundt-tal med
enheder, og skelner mellem styk-tal og per-tal.
Mængde-matematik uden enheder bygger på den
abstrakte essens ’mængde’, og anerkender ikke
per-tal,
men bygger på linjetal uden enheder, der bliver til ’matematisme’, altid sandt indenfor
med sjældent udenfor klassen, ved at påstå, at 3+1 = 4 til trods for, at 3 par + 1 = 7.
At mængder fører til et selv-reference paradoks negligeres: Mængden af mængder der ikke
tilhører sig selv, tilhører den sig selv eller ikke? Svarende til at spørge: ”Denne sætning er usand”,
er den sand eller usand?
Her er cifre og regnetegn symboler ligesom bogstaver. Flercifrede tal siges at følge et
positionssystem, men ti kaldes ikke bundt, hundrede ikke bundt-bundt, osv. Negative tal tillades
ikke på en position.
Opsamling sker med de samme regnearter, dog præsenteres de ikke samtidig, men i den modsatte
rækkefølge plus, minus, gange og division.
3+1 = 4 fremstilles som at 3+1 og 4 er forskellige tal-navne for det samme. Altså ikke som en
fortælling om en total, T = 3+1 = 4. Dvs. både grundled og udsagnsled udelades. Der angives kun
en ækvivalens mellem tal-navne. Overlæs og underlæs accepters ikke, i stedet bruges mente og
lån.
Er 2+3*4 = 20 eller14? Det afgøres ved den definition, der kaldes regnehierarkiet. Til trods for, at T
= 2+3*4 = 2 1ere + 3 4ere, der kun kan omtælles til 1B4 tiere eller 14.
6*7 angives som et andet talnavn for 42, til trods for, at 6*7 er 6 7ere, der eventuelt kan omtælles
til tiere som 4B2 tiere eller 4.2*10 eller 42.
8/2 er 8 delt i 2 4-bundter, i stedet for 8 optalt i 4 2-bundter.
Den lille tabel skal læres udenad, 6*7 = 42 i stedet for at sige 6 7ere udstrækkes til 10ere, bliver
højden mindre: 6 7ere = 4.2 10ere.
Bogstavregning og reduktionsopgaver som 2ab + 3bc = (2a+3c)*b fremstilles som anvendelse af
den distributive lov, hvor tal kan flyttes ind eller ud af parenteser. Altså ikke ved at finde den
fælles enhed,
b’ere:
4
 BUU, Alm.del - 2022-23 (2. samling) - Bilag 184: Høring om matematik, teori-rettet med 8 kompetencer eller praksis-rettet med 2 kompetencer.
Antal
b’ere
er 2a
+ 3c, så
T
= 2a + 3c
b’ere
= (2a+3c)*b.
Division fører videre til brøker, decimaler og procent. Også brøker behandles uden enheder: 1/2 +
2/3 = 7/6, til trods for at �½ af 2æbler + 2/3 af 3 æbler er 3/5 af 5 æbler, og naturligvis ikke 7 æbler
af 6.
Proportionalitetsopgaver løses ved at gå over enheden.
Negative tal indføres som selvstændige tal, hvor minus gange minus defineres til at være plus.
Opdeling kaldes løsning af en ligning med to tal-navne, hvis ækvivalens udtrykkes i et udsagn, der
bevarer sin sandhedsværdi ved operationer udført på begge tal-navne samtidig. Ved omformning
af et tal-navn benyttes tre love, en kommunikativ og en associativ og en distributiv lov.
2*x = 8; (2*x)*�½ = 8*�½; (x*2)*�½ = 4;
x*(2*�½)
= 4;
x*1
= 4;
x
= 4
Andengradsligningen i 10. klasse undlader at tegne
x^2+6x-8=0
som (x+3)^2 hvis 4 dele forsvinder
på nær 3^2 -8 = 1. Så (x^3)^2 = 1, dvs.
x
= -2 og
x
= -4.
Formler fra geometrien fører til funktionsbegrebet. Før mængdematematik definerede Euler en
funktion som et regnestykke med tal og bogstaver. I mængdematematikken defineres en funktion
som en delmængde af et mængdeprodukt hvor første-komponent identitet medfører anden-
komponent identitet.
Hvor
x
står for et uspecificeret tal, står
f(x)
for en uspecificeret formel med
x
som en variabel.
Udtrykket
f(2)
er derfor meningsløst, da 2 er en konstant.
Lineære og eksponentielle funktion defineres så som et eksempel på homomorfier:
f(x)
=
a*x,
og
f(x)
=
a^x,
altså uden begyndelsestal b.
I geometrien behandles plangeometrien og koordinatgeometrien før trigonometrien.
I calculus behandles differentiation før integration skønt vi har brug for at plusse per-tal, der
omskrevet til tilvækster,
p*dx
= dy, plusses som én differens mellem slut-y og start-y, da alle
mellemled forsvinder.
Derudover indfører matematisme 8 såkaldte matematik-kompetencer, hvor mange-matematik
kun har 2: tæl og regn i rum og tid.
Matematisme har store problemer med at anvendes til modellering, og skelner ikke mellem
faktiske, fiktive og fup modeller (’DaSå/HvisSå/HvadSå’ eller ’room/rate/risk’
modeller). Alle siges
at være tilnærmelser. Mange-matematik bruger formler fra start. Og har derfor ikke problemer
med modellering, da den ser sig som et tal-sprog parallelt til tale-sproget, der begge har et meta-
sprog (en grammatik) og tre genrer: fakta, fiktion og fup.
5
 BUU, Alm.del - 2022-23 (2. samling) - Bilag 184: Høring om matematik, teori-rettet med 8 kompetencer eller praksis-rettet med 2 kompetencer.
HENVISNINGER
MATHeCADEMY.net, fx.
http://mathecademy.net/math-with-playing-cards/
http://mathecademy.net/calculus-adds-pernumbers/
http://mathecademy.net/refugee-camp-math/
http://mathecademy.net/trigonometry-before-geometry/
http://mathecademy.net/dk/matematik-med-spillekort/
http://mathecademy.net/dk/kommod-rapporten/
MrAlTarp YouTube videoer, især “Flexible
Bundle Numbers Develop the Childs Innate Mastery of
Many”,
https://youtu.be/z_FM3Mm5RmE
Tarp, A. (2001).
Fact, Fiction, Fiddle - Three Types of Models,
in J. F. Matos & W. Blum & K. Houston
& S. P. Carreira (Eds.), Modelling and Mathematics Education: ICTMA 9: Applications in Science
and Technology. Proceedings of the 9th International Conference on the Teaching of
Mathematical Modelling and Applications (pp. 62-71), Chichester UK: Horwood Publishing, 2001.
Tarp, A. (2018).
Mastering Many by counting, re-counting and double-counting before adding on-
top and next-to.
Journal of Mathematics Education, 11(1), 103-117.
Tarp, A. (2020).
De-modeling numbers, operations and equations: From inside-inside to outside-inside
understanding.
Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science 17(3), 453-466.
Tarp, A. (2021).
Teaching Mathematics as Communication, Trigonometry Comes Before Geometry,
and Probably Makes Every Other Boy an Excited Engineer.
Complexity, Informatics and
Cybernetics: IMCIC 2021.
Tarp, A. (2022).
MateMatik-skandalen, MateMatisme kvæler barnets eget talsprog,
https://www.saxo.com/dk/matematik-skandalen_ebog_9788771962970.
6